对偶空间

1. 前置

• 向量空间
• 拓扑向量空间

2. 定义

设 $X$ 为数域 $F$ 上的向量空间。若映射$f:X\to F$满足

$$f(ax+by)=af(x)+bf(y),\forall a,b\in F,\forall x,y\in X$$

则称 $f$ 为 $X$ 上的线性泛函（Linear Functional）。

称 $X^{\ast }:=\{f:X\to F\mid f\text{ 为线性泛函}\}$为 $X$ 的对偶空间（Dual Space），也称代数对偶（Algebraic Dual）。

定义加法$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$以及数乘$(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$

其中$\lambda \in F$.

容易验证$X^{\ast }$关于上述运算构成 $F$ 上的向量空间。

设

$$x\in X,f\in X^{\ast }.$$

称$⟨f,x⟩:=f(x)$称其为对偶配对（Dual Pairing）。

设 $\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$ 是有限维向量空间 $X$ 的一组基。若 $\{e^1,e^2,\dots ,e^n\}\subseteq X^{\ast }$ 满足

$$⟨e^i,e_j⟩={\delta }_j^i,i,j=1,2,\dots ,n$$

则称 $\{e^1,e^2,\dots ,e^n\}$ 为 $\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$ 的对偶基（Dual Basis）。

设 $X$ 为数域 $F$ 上的拓扑向量空间，$F$ 赋予标准拓扑。

若 $f\in X^{\ast }$ 且映射 $f:X\to F$ 连续，则称 $f$ 为连续线性泛函（Continuous Linear Functional）。

所有连续线性泛函的集合记为

$$X^{\prime }:=\{f\in X^{\ast }\mid f\text{ 连续}\}.$$

称 $X^{\prime }$ 为 $X$ 的连续对偶空间（Continuous Dual Space），也称拓扑对偶。

对 $f,g\in X^{\prime }$，$\lambda \in F$，沿用代数对偶中的加法与数乘：

$$(f+g)(x)=f(x)+g(x),(\lambda f)(x)=\lambda f(x).$$

连续映射的和与数乘仍连续，故 $f+g,\lambda f\in X^{\prime }$。因此 $X^{\prime }$ 是 $X^{\ast }$ 的线性子空间；赋予上述运算后，$X^{\prime }$ 也是 $F$ 上的向量空间。

3. 性质

1. 若 $\dim (X)=n$，则 $\dim (X^{\ast })=n$，且对偶基唯一存在。

4. 证明

4.1. 性质1证明

4.1.1. 唯一存在性

设 $\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$ 是 $X$ 的一组基。
对任意的 $x\in X$，它可以唯一地表示为：

$x={\sum }_{j=1}^n{x}^j{e}_j,x^j\in F$

现在定义 $n$ 个映射 $e^i:X\to F$ （其中 $i=1,2,\dots ,n$），其作用是提取向量 $x$ 在基向量 $e_i$ 方向上的系数：

$e^i(x)=e^i\left({\sum }_{j=1}^n{x}^j{e}_j\right):=x^i$

• 线性验证：容易验证 $e^i$ 是线性泛函（因为系数的提取是线性的），所以 $e^i\in X^{\ast }$。
• 对偶性质：若直接作用于基向量 $e_j$，由于 $e_j=1\cdot e_j+{\sum }_{k\ne j}0\cdot e_k$，因此：

$⟨e^i,e_j⟩=e^i(e_j)={\delta }_j^i$

• 唯一性：假设 ${\phi }^i\in X^{\ast }$ 也满足 $⟨{\phi }^i,e_j⟩={\delta }_j^i$。任取 $x={\sum }_{j=1}^n{x}^j{e}_j$，由线性性：

${\phi }^i(x)={\phi }^i\left({\sum }_{j=1}^n{x}^j{e}_j\right)={\sum }_{j=1}^n{x}^j{\phi }^i(e_j)={\sum }_{j=1}^n{x}^j{\delta }_j^i=x^i=e^i(x)$

上式对任意 $x\in X$ 成立，故 ${\phi }^i=e^i$，唯一性成立。

4.1.2. 基与维数

要证明 $\{e^1,e^2,\dots ,e^n\}$ 是 $X^{\ast }$ 的一组基，需要证明它们线性无关且张成整个空间。

• 线性无关性：
  设一组组合使得零泛函成立：${\sum }_{i=1}^n{c}_i{e}^i=0$（其中 $0$ 是把所有向量映射为 $0$ 的零泛函）。
  让这个组合作用于基向量 $e_j$：

$\left({\sum }_{i=1}^n{c}_i{e}^i\right)(e_j)=0(e_j)=0$

利用对偶性质展开左边：

${\sum }_{i=1}^n{c}_i{e}^i(e_j)={\sum }_{i=1}^n{c}_i{\delta }_j^i=c_j=0$

因为对所有的 $j=1,\dots ,n$ 都有 $c_j=0$，所以 $\{e^1,e^2,\dots ,e^n\}$ 线性无关。

• 张成性（Spanning）：
  对任意的 $f\in X^{\ast }$ 以及任意的 $x={\sum }_{j=1}^n{x}^j{e}_j\in X$，由 $f$ 的线性可得：

$f(x)=f\left({\sum }_{j=1}^n{x}^j{e}_j\right)={\sum }_{j=1}^n{x}^{j}f(e_j)$

因为 $x^j=e^j(x)$，代入上式：

$f(x)={\sum }_{j=1}^{n}f(e_j)e^j(x)=\left({\sum }_{j=1}^{n}f(e_j)e^j\right)(x)$

由于这对象空间中的任意 $x$ 都成立，说明两个泛函相等：

$f={\sum }_{j=1}^{n}f(e_j)e^j$

这说明任意的 $f\in X^{\ast }$ 都可以由 $\{e^1,\dots ,e^n\}$ 线性表出（系数就是 $f(e_j)$）。

综上所述，$\{e^1,e^2,\dots ,e^n\}$ 是 $X^{\ast }$ 的一组基，因此 $\dim (X^{\ast })=n=\dim (X)$。 $■$