拓扑向量空间

前置

• 点集拓扑(代理)

定义

设 $F$ 是一个代数上的域（Field），同时 $(F,\tau )$ 是一个拓扑空间。如果以下两组代数运算在积拓扑意义下都是连续的，则称 $(F,\tau )$ 为一个拓扑域（Topological Field）：

• 加法与减法的连续性

• 加法连续：映射 ${\mu }_{+}:F\times F\to F,(a,b)\mapsto a+b$ 连续。
• 加法逆（相反数）连续：映射 $\alpha :F\to F,a\mapsto -a$ 连续。

• 乘法与除法的连续性

• 乘法连续：映射 ${\mu }_{\cdot }:F\times F\to F,(a,b)\mapsto a\cdot b$ 连续。
• 乘法逆（倒数）连续：在除去零元的子空间上，映射 $\beta :F\setminus \{0\}\to F\setminus \{0\},a\mapsto a^{-1}$ 连续。

设 $F$ 为拓扑域，通常取 $F=\mathbb{R}$ 或 $F=\mathbb{C}$，赋予其标准拓扑。设 $X$ 为 $F$ 上的向量空间，$\tau$ 为 $X$ 上的拓扑。

向量空间的两项基本运算为

$$\begin{array}{rlrl}+:& X\times X\to X,& & (x,y)\mapsto x+y,\\ \cdot :& F\times X\to X,& & (\lambda ,x)\mapsto \lambda x.\end{array}$$

在 $X\times X$ 与 $F\times X$ 上取积拓扑。若

1. $(X,\tau )$ 是拓扑空间；
2. 加法 $+:X\times X\to X$ 连续；
3. 标量乘法 $\cdot :F\times X\to X$ 连续；

则称 $(X,F,\tau )$ 为 拓扑向量空间（Topological Vector Space）。

性质

1. 设 $X$ 为任意拓扑空间，$F$ 为拓扑域。若映射 $f:X\to F$ 和 $g:X\to F$ 均连续，则其和映射 $(f+g):X\to F$ 亦连续。
2. 设 $X$ 为任意拓扑空间，$F$ 为拓扑域。若 $f:X\to F$ 连续，且 $\lambda \in F$ 为常数，则数乘映射 $(\lambda f):X\to F$ 亦连续。