Banach 代数上的级数

前置

• 赋范向量空间上的级数
• 代数
• 一些标准的级数

Banach 代数中的乘法估计

设 $A$ 是 $F$ 上的赋范代数。也就是说，$A$ 是一个赋范线性空间，同时带有一个乘法，并满足

$$\Vert ab\Vert \le \Vert a\Vert \Vert b\Vert ,a,b\in A.$$

若 $A$ 作为赋范线性空间是完备的，则称 $A$ 为 Banach 代数。

Banach 代数首先是 Banach 空间，因此 $A$ 中一般级数的收敛性仍按 赋范向量空间上的级数 定义。额外的乘法结构使得可以讨论形如

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}^n,\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a^n}{n!},\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{a}^n$$

这样的级数。

幂

若 $A$ 是含幺代数，单位元记为 $1$，则对 $a\in A$ 定义

$$a^0=1,a^{n+1}=a^{n}a,n\ge 0.$$

由乘法结合律可知，$a^n$ 良定义。

在含幺 Banach 代数中通常约定 $\Vert 1\Vert =1$。在此约定下，由次可乘性可得：

$$\Vert a^n\Vert \le \Vert a{\Vert }^n,n\ge 0.$$

证明：$n=0$ 时，$\Vert a^0\Vert =\Vert 1\Vert =1=\Vert a{\Vert }^0$。对 $n\ge 1$，由归纳法：

$$\Vert a^{n+1}\Vert =\Vert a^{n}a\Vert \le \Vert a^n\Vert \Vert a\Vert \le \Vert a{\Vert }^{n+1}.$$

幂级数

设 $A$ 是含幺 Banach 代数，且 $\Vert 1\Vert =1$。对 $a\in A$，$\{c_n{\}}_{n\ge 0}\subset F$，称

$$\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{a}^n$$

为 $A$ 中由 $a$ 代入的幂级数。

若标量非负级数

$$\sum _{n=0}^{\infty }|c_n|\Vert a{\Vert }^n$$

收敛，则 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n{a}^n$ 在 $A$ 中绝对收敛，从而收敛。

证明：

$$\Vert c_n{a}^n\Vert =|c_n|\Vert a^n\Vert \le |c_n|\Vert a{\Vert }^n.$$

由非负级数的比较判别知

$$\sum _{n=0}^{\infty }\Vert c_n{a}^n\Vert <+\infty .$$

因为 $A$ 是 Banach 空间，绝对收敛推出收敛。

Neumann 级数

设 $A$ 是含幺 Banach 代数，且 $\Vert 1\Vert =1$。若 $a\in A$ 且

$$\Vert a\Vert <1,$$

则级数

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}^n$$

收敛。其和记为

$$s=\sum _{n=0}^{\infty }{a}^n.$$

并且

$$(1-a)s=s(1-a)=1.$$

因此 $1-a$ 可逆，且

$$(1-a{)}^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{a}^n.$$

证明：

由于

$$\Vert a^n\Vert \le \Vert a{\Vert }^n$$

且几何级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\Vert a{\Vert }^n$ 收敛，所以 $\sum a^n$ 绝对收敛，从而在 $A$ 中收敛。

设部分和

$$s_N=\sum _{n=0}^N{a}^n.$$

有限等比恒等式给出

$$(1-a)s_N=s_N(1-a)=1-a^{N+1}.$$

因为

$$\Vert a^{N+1}\Vert \le \Vert a{\Vert }^{N+1}\to 0,$$

所以 $a^{N+1}\to 0$。令 $N\to \infty$，利用乘法关于范数极限的连续性，得到

$$(1-a)s=s(1-a)=1.$$

故 $s=(1-a{)}^{-1}$。

指数级数

下面默认 $A$ 是实或复含幺 Banach 代数，且 $\Vert 1\Vert =1$。对任意 $a\in A$，定义

$$\exp (a)=e^a:=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a^n}{n!}.$$

该级数总是收敛。因为

$$\Vert \frac{a^n}{n!}\Vert \le \frac{\Vert a{\Vert }^n}{n!},$$

而实数级数

$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{\Vert a{\Vert }^n}{n!}$$

由 指数级数的收敛性 可知收敛，所以 $\sum \frac{a^n}{n!}$ 在 $A$ 中绝对收敛，从而收敛。

因此指数函数可以在任意实或复 Banach 代数中由级数定义。

Euler 公式

下面设 $A$ 是复含幺 Banach 代数，且 $\Vert 1\Vert =1$。对任意 $t\in \mathbb{R}$，有

$$e^{it1}=\cos t\cdot 1+i\sin t\cdot 1.$$

其中 $\sin t$ 与 $\cos t$ 按 正弦级数与余弦级数 定义。

证明：

由指数级数定义，

$$e^{it1}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(it1{)}^n}{n!}.$$

由于 $1$ 是单位元，且 $i$ 是标量，所以

$$(it1{)}^n=i^n{t}^{n}1.$$

因此

$$e^{it1}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{i^n{t}^n}{n!}1.$$

该级数绝对收敛，所以可以把偶数项与奇数项分开：

$$\begin{array}{rl}{e}^{it1}& =\sum _{k=0}^{\infty }\frac{i^{2k}{t}^{2k}}{(2k)!}1+\sum _{k=0}^{\infty }\frac{i^{2k+1}{t}^{2k+1}}{(2k+1)!}1\\ & =\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{t^{2k}}{(2k)!}1+i\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{t^{2k+1}}{(2k+1)!}1\\ & =\cos t\cdot 1+i\sin t\cdot 1.\end{array}$$

这就是 Banach 代数语境下的 Euler 公式。特别地，当 $A=\mathbb{C}$ 且 $1=1_{\mathbb{C}}$ 时，得到通常的公式

$$e^{it}=\cos t+i\sin t.$$

乘法连续性

在赋范代数中，乘法关于范数极限连续。若 $a_n\to a$，$b_n\to b$，则

$$a_n{b}_n\to ab.$$

证明：

$$a_n{b}_n-ab=(a_n-a)b_n+a(b_n-b).$$

于是

$$\Vert a_n{b}_n-ab\Vert \le \Vert a_n-a\Vert \Vert b_n\Vert +\Vert a\Vert \Vert b_n-b\Vert .$$

收敛列 $(b_n)$ 有界，因此右端趋于 $0$。

这个性质常用于把有限恒等式传到无穷级数的极限中，例如 Neumann 级数的证明。

小结

赋范向量空间上的级数只需要加法和范数；Banach 代数上的级数还可以使用乘法。次可乘性

$$\Vert ab\Vert \le \Vert a\Vert \Vert b\Vert$$

使得代数中的幂级数可以被标量级数控制，而 Banach 完备性保证绝对收敛的代数值级数确实在代数中收敛。