前置
定义
广义全函数空间
设 为任意非空集合， 为任意域。定义
为从 到 的全体函数之集合，称为广义全函数空间。
在 上定义逐点（Pointwise）加法与数乘：
其中 ，，。式中 与 均为域 内的运算； 中的 只起指标作用，不要求 本身带有加法、乘法或拓扑结构。因此， 的域结构经逐点运算自然地传递到函数集合上。
容易验证 满足向量空间公理：
- 加法交换群：零元为 ，逆元为 ；
- 数乘分配律：，；
- 结合律与单位元：，。
故 构成 上的向量空间。
连续函数空间
设 为拓扑空间， 为拓扑域（通常 或 ，赋予标准拓扑）。定义
为从 到 的全体连续函数之集合，称为连续函数空间。且 是 的线性子空间。
要证 构成 上的向量空间，只需证其对逐点加法和数乘封闭。设 ，。
加法封闭性. 拓扑域 上的加法 连续。由 连续，对角映射 ， 连续（积拓扑下各分量连续则积映射连续）。于是
为连续映射的复合，故 。
数乘封闭性. 拓扑域 上的乘法 连续。映射 ， 连续。于是
为连续映射的复合，故 。
综上， 对逐点运算封闭，是 的线性子空间，从而也是 上的向量空间。
紧支撑连续函数空间
设 为拓扑空间， 为拓扑域。对 ，定义其支撑集为
定义
为紧支撑连续函数空间（Continuous Functions with Compact Support）。
证明： 是 的线性子空间
设 ，。 已对逐点运算封闭，故 ；只需证二者仍具紧支撑。
加法封闭性
若 ，则 与 不能同时为零，故
取闭包。闭包保持包含关系，且 ，得
由 ， 与 均为紧集，其有限并仍紧。又 按定义闭，且为紧集的闭子集，故仍紧。因此 。
数乘封闭性
若 ： 为恒零函数， 为紧集。
若 ：域中无零因子，故 ，从而
为紧集。
综上，。故 对逐点加法和数乘封闭，是 （从而也是 ）的线性子空间。