环论(幂运算)

• 前置
• 幺环上的幂运算
• 交换幺环上的幂运算
• 无零因子幺环上的幂运算
• 有序幺环上的幂运算
• 域上的幂运算
• 有序域上的幂运算

前置

• 群论(幂运算)

群论(幂运算)

前置

• 整数

幺半群上的自然数次幂

$G$是一个幺半群，$a\in G$，$n\in \mathbb{N}$

$a^0=e$

$a^n=a^{n-1}a\forall n>0$

性质

1. $a^{n}a=a{a}^n$
2. $a^n{a}^m=a^m{a}^n$
3. $a^m{a}^n=a^{m+n}$
4. $(a^n{)}^m=a^{nm}$]
5. 若$G$为交换幺半群，则$(ab{)}^n=a^n{b}^n$

群上的整数次幂

$G$是一个群，$a\in G$，$m,n\in \mathbb{Z}$

$a^0=e$

$n\ge 0$时，$a^n=a^{n-1}a$

$n<0$时，$a^n=(a^{-1}{)}^{-n}$

性质

1. $a^{(-1)}=a^{-1}$，即负一次幂等于逆元
2. $a^m{a}^n=a^{m+n}$
3. for $m\ge 0$,$(a^m{)}^{-1}=(a^{-1}{)}^m$
4. $(a^n{)}^m=a^{nm}$
5. 若$G$为交换群，则$(ab{)}^n=a^n{b}^n$

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幺环上的幂运算

因为幺环关于乘法构成一个幺半群，因此可以定义幺半群的上自然数幂

交换幺环上的幂运算

因为交换幺环关于乘法构成一个交换幺半群，因此也可以定义自然数幂

无零因子幺环上的幂运算

因为无零因子幺环是一种幺环，因此也可以定义自然数幂

1. 若$n>0$，则$x^n=0$当且仅当$x=0$

有序幺环上的幂运算

因为有序幺环是一种幺环，因此也可以定义自然数幂

注意有序环一定为无零因子环。

1. 若$n>0\wedge x>y>0$，则$x^n>y^n>0$。
2. $|x^n|=|x{|}^n$

域上的幂运算

因为域上的非零元素关于乘法构成一个交换群，因此也可以定义整数幂

有序域上的幂运算

因为有序域上是域，因此也可以定义整数幂

1. If $x>y>0$, then $x^n>y^n>0$ if $n$ is positive, and $0<x^n<y^n$ if $n$ is negative.
2. If $x,y>0$, $n\ne 0$, and $x^n=y^n$, then $x=y$.
3. $|x^{-1}|=|x{|}^{-1}$
4. $|x^n|=|x{|}^n$