群论(幂运算)

前置

• 整数

幺半群上的自然数次幂

$G$是一个幺半群，$a\in G$，$n\in \mathbb{N}$

$a^0=e$

$a^n=a^{n-1}a\forall n>0$

性质

1. $a^{n}a=a{a}^n$
2. $a^n{a}^m=a^m{a}^n$
3. $a^m{a}^n=a^{m+n}$
4. $(a^n{)}^m=a^{nm}$]
5. 若$G$为交换幺半群，则$(ab{)}^n=a^n{b}^n$

群上的整数次幂

$G$是一个群，$a\in G$，$m,n\in \mathbb{Z}$

$a^0=e$

$n\ge 0$时，$a^n=a^{n-1}a$

$n<0$时，$a^n=(a^{-1}{)}^{-n}$

性质

1. $a^{(-1)}=a^{-1}$，即负一次幂等于逆元
2. $a^m{a}^n=a^{m+n}$
3. for $m\ge 0$,$(a^m{)}^{-1}=(a^{-1}{)}^m$
4. $(a^n{)}^m=a^{nm}$
5. 若$G$为交换群，则$(ab{)}^n=a^n{b}^n$