整数

前置

• 环论(二)
• 环论(有序环)

整数

整数

$A=\mathbb{N}\times \mathbb{N}$

在$A$上定义关系$(a,b){\sim }_{-}(c,d)$当且仅当$a+d=b+c$

$\text{Lemma}$. ${\sim }_{-}$是等价关系. 使用定义证明等价关系的自反性、对称性和传递性

等价关系的所有等价类组成的集合是$\mathbb{N}$的一个划分，记作$\mathcal{A}$

$(a,b)$的等价类记作$[(a,b)]$,简记为$[a,b]$

整数加法

在等价类上定义加法

$[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]$

在集类(集合的集合)上定义加法需要说明良定义性，即等价类之间的运算不依赖与等价类的表示方式，只依赖与集合内包含哪些元素。

假设$(e,f){\sim }_{-}(a,b)$和$(g,h){\sim }_{-}(c,d)$，需要证明$[e+g,f+h]=[a+c,b+d]$，可以根据定义证明。

根据上述加法的定义，可以证明上述加法具有以下性质

• 加法结合律
• 加法交换律
• 加法单位元$[0,0]$
• 加法逆元$[a,b]$的加法逆元为$[b,a]$

因此$<\mathcal{A},+>$构成一个交换群

note: 需要验证加法逆元的良定义性，若$[a,b]=[c,d]$,则$[b,a]=[d,c]$,即若两个数表示的等价类相等，则它们的加法逆元表示的等价类也相等

整数乘法

在等价类上定义乘法

$[a,b]\times [c,d]=[ac+bd,ad+bc]$

在集类上定义乘法需要说明良定义性，即等价类之间的运算不依赖与等价类的表示方式，只依赖与集合内包含哪些元素。

假设$(e,f){\sim }_{-}(a,b)$和$(g,h){\sim }_{-}(c,d)$，需要证明$[ac+bd,ad+bc]=[eg+fh,eh+fg]$

提示：证明 $[a,b]\times [c,d]=[ac+bd,ad+bc]=[ec+fd,ed+fc]=[e,f]\times [c,d]$ When $[a,b]=[e,f]$，另一侧的良定义性同理。

整环

根据定义可以证明上述乘法具有以下性质

• 乘法结合律
• 乘法交换律
• 乘法单位元$[1,0]=[0++,0]$
• 乘法对加法的分配律

$\text{Lemma}$. $<\mathcal{A},+,\times >$构成一个交换幺环

$\text{Proposition}$. (Integers have no zero divisors) Let a and b be integers such that
ab = 0. Then either a = 0 or b = 0 (or both).

$\text{Lemma}$. $\mathcal{A}$中任意元素都可以写为$[(a,0)]$或$[(0,a)]$的形式，$a$为自然数

证明：

对于任意$[c,d]$，分类讨论，若$c\ge d$，则$c=d+e$，$e$为自然数，则$[c,d]=[d+e,d]=[e,0]$. 若$c<d$，则$d=c+e$，$e$为自然数，则$[c,d]=[c,c+e]=[0,e]$

将$[a,0]$记作$a$，将$[0,a]$记作$-a$，将$[0,0]$记作$0$，则$\mathcal{A}$中的元素可以表示为$a$或$-a$，其中$a$为自然数

$\text{Definition}$. $i(n):N\to \mathcal{A}$，$i(n)=[n,0]$

$i(m+n)=[m+n,0]=[m,0]+[n,0]=i(m)+i(n)$

$i(mn)=[mn,0]=[m,0][n,0]=i(m)i(n)$

因此$i$是$\mathbb{N}$到$\mathcal{A}$的同态映射

若$i(m)=i(n)$，则$[m,0]=[n,0]$，即$m=n$，因此$i$是单射

因此$i$是$\mathbb{N}$到$\mathcal{A}$的子集$\{[n,0]\mid n\in \mathbb{N}\}$的同构映射

$\text{Proposition}$. (Integers have no zero divisors) Let a and b be integers such that
$ab=0$. Then either $a=0$ or $b=0$ (or both).

反证：$[a,b]\ne [0,0]$且$[c,d]\ne [0,0]$时，$[a,b][c,d]=[0,0]$

$[a,b][c,d]=[ac+bd,ad+bc]=[0,0]\Rightarrow ac+bd=0\text{且}ad+bc=0$

因此$ac=bd=ad=bc=0$，因此有 $(a(c+d)=b(c+d))$

$c\ne d\Rightarrow c+d\ne 0$, 所以使用消去律得到$a=b=0$

$\text{Lemma}$. $<\mathcal{A},+,\times >$构成一个整环(非零+无零因子+交换+幺环)

使用加法逆元定义减法

$[a,b]-[c,d]=[a,b]+[d,c]=[a+d,b+c]$

(抽象代数)环有以下性质

• $0a=a0=0$
• $a(-b)=(-a)b=-ab,(-a)(-b)=ab$
• 一个环的加法单位元等于乘法单位元$⟺$ R={0}
• R 的所有有乘法逆元的元素构成一个群
• 无零因子环有消去律

至此将$<\mathcal{A},+,\times >$记作$<\mathbb{Z},+,\times >$

有序环

$\text{Proposition}$. (Trichotomy of integers). Let x be an integer. Then exactly one of the following three statements is true: (a) x is zero; (b) x is equal to a positive natural number n; or (c) x is the negation −n of a positive natural number n.

根据三分性和整数加法与乘法的定义，我们可以构造一个有序环。

首先规定一个正数(positive integer)集合$P=\{x\in \mathbb{Z}\mid \text{存在非零自然数n使得}x=[n,0]\}$

容易验证 P 满足有性质

• $\forall x,y\in P,x+y\in P,xy\in P$
• $\forall x\in \mathbb{Z},x\in P,x=0,-x\in P$三者有且只有一个成立

根据抽象代数里有序环的性质，我们可以定义偏序关系$x<y⟺y-x\in P$, 可以证明$<$有如下性质

• Trichotomy: $x<y,x=y,x>y$三者有且只有一个成立
• Transitivity: $x<y,y<z\Rightarrow x<z$
• Addition preservation: $x<y\Rightarrow x+z<y+z$
• Multiplication preservation: $x<y,z>0\Rightarrow xz<yz$
• Negation reverses order: $a>b\Rightarrow -a<-b$

$\text{Lemma}$. $n++=n+(0++)=n+1$

$\text{Lemma}$. $x\in P\Rightarrow x>=1=0++$

$\text{Definition}$. 若一个有序环$R$满足如下性质则称该环为 Archimedean(阿基米德)环

• 对任意$x,y\in R$，$x>0,y>0\Rightarrow \exists n\in \mathbb{Z}\text{使得}nx>y$

$\text{Lemma}$. $\mathbb{Z}$是 Archimedean 环

反证法：假设对任意$x,y\in \mathbb{Z}$，$x>0,y>0\Rightarrow \neg \exists n\in \mathbb{Z}\wedge n>0\text{使得}nx>y$

即对$\forall n\in \mathbb{Z}\wedge n>0$，$nx<y$ or $nx=y$

若对于某个$n$, nx=y,则$(n+1)x=nx+x=y+x>y$, 矛盾

因此必须有$nx<y$对所有$n\in \mathbb{Z}\wedge n>0$成立

但是 $y-yx=y(1-x)\le 0$，即$n=y$使得$nx\ge y$，矛盾

$\text{Lemma}$. 若$n,m\in \mathbb{N}$，$n>m$，则$i(n)=[n,0]>[m,0]=i(m)$

$\text{Lemma}$. 非空$X\subseteq \mathbb{Z}$且$X$在$\mathbb{Z}$中的有下界，则$X$中不存在无穷严格递减序列

假设$X$存在无穷严格递减序列$x_0>x_1>x_2>\cdots \ge m$,$m$ 为$X$的一个下界

使用数学归纳法可证明对于任意的$n\in \mathbb{Z}\wedge n\ge 0$，有$x_0>m+n$

因为$Z$是阿基米德环，所以存在$k\in Z\wedge k>0$使得 $k>max(x_0,m)$

$k$ 可以表示为$k=m+d$,$d\in \mathbb{Z}\wedge d>=0$, 矛盾。

$\text{Lemma}$. 非空$X\subseteq \mathbb{Z}$且$X$在$\mathbb{Z}$中的有下界，则$X$中存在最小元素, 否则$X$中存在无穷严格递减序列