向量空间

• 1. 前置
• 2. Vector Space
  • 2.1. Properties of Vector Space
• 3. 度量空间
• 4. 赋范线性空间
  • 4.1. 赋范线性空间的性质
• 5. 内积空间
  • 5.1. 内积空间的性质
  • 5.2. Riesz 表示定理 (有限维情形)
    • 5.2.2. 证明
• 6. Hilbert 空间
  • 6.1. Hilbert 空间的性质

1. 前置

• 群论(二)
• 环论(二)
• abs_field

graph TD
    集合 -->|定义度量| 度量空间
    度量空间 -->|柯西列收敛| 完备度量空间
    集合 -->|定义抽象加法和抽象乘法| 域F
    集合 -->|定义抽象加法| 交换群V
    域F -->|定义F上的数乘| 向量空间
    交换群V -->|定义F上的数乘| 向量空间
    向量空间 -->|F为带绝对值的域,定义范数| 赋范线性空间
    赋范线性空间 -->|范数诱导的度量完备| 巴拿赫空间
    向量空间 -->|F=实数域或复数域,定义内积| 内积空间
    内积空间 -->|内积诱导的范数诱导的度量完备| Hilbert空间

2. Vector Space

$F$ is a field, $V$ is a commutative group
Define scalar multiplication

$$\sigma :F\times V\to V$$

Denote $a\sigma v$ as $av$

If $\sigma$ satisfies the following conditions, then $V$ is a vector space over $F$, or a linear space.

• $(a+b)v=av+bv$
• $a(bv)=(ab)v$
• $a(u+v)=au+av$
• $1v=v$

$S=\{v_i|i\in I\}$ is linearly independent if: $\forall k\in \mathbb{N},\forall B=\{v_i\in S:i\in [k]\wedge (\forall i,j\in [k],i\ne j\Rightarrow v_i\ne v_j)\},{\sum }_{i=1}^k{\alpha }_i{v}_i=0\Rightarrow \forall i\in [k],{\alpha }_i=0$

If any vector in $V$ can be expressed as a linear combination of a finite subset of $S\subseteq V$, then $V$ is generated by $S$. If $S$ is linearly independent, then $S$ is a basis of $V$. If $S$ is a finite set, then $V$ is a finite-dimensional vector space.

For $U\subseteq V$, if $\sigma$ restricted on $U$ still satisfies the definition of vector space, i.e., $\sigma :<F,U>\to U$, then $U$ is a subspace of $V$.

For $V$ and $V^{\prime }$, if $L:V\to V^{\prime }$ satisfies $L(av+bw)=aL(v)+bL(w)$ for all $a,b\in F$ and all $v,w\in V$, then $L$ is a linear map. If $V=V^{\prime }$, then $L$ is a linear transformation.

Let $V$ and $V^{\prime }$ be vector spaces over the same field $F$. A map $\varphi :V\to V^{\prime }$ is an isomorphism if $\varphi$ is a one-to-one map, $\varphi [V]=V^{\prime }$, and furthermore

$\varphi (a\alpha +b\beta )=a\varphi (\alpha )+b\varphi (\beta )$

for all $\alpha ,\beta \in V$ and all $a\in F$.

The eigenvector $v\ne 0$ and eigenvalue $\lambda$ of a linear transformation $L:V\to V$:

$$\exists v\ne 0,L(v)=\lambda v⟺\exists v\ne 0,(L-\lambda I)(v)=0⟺\text{Ker}(L-\lambda I)\ne \{0\}$$

2.1. Properties of Vector Space

1. $0v=0$
2. $a0=0$
3. $(-a)v=-(av)=a(-v)$
4. $v_1,v_2,...,v_n\in V$线性无关$⟺$ 不存在$v_i$能被其余向量线性表出
5. $v_1,v_2,...,v_n\in V$线性无关$⟺$ $i\in [n],v_i$不能被其前面的向量线性表出
6. 若有限集$S$生成了$V$,则存在$U\subseteq S$使得 $U$ 是 $V$ 的基。所一有限维向量空间有有限基
7. 若$V$是一个有限维向量空间，$S\subseteq V$为线性无关的有限集合，则 $S$可以扩充为$V$的基。且$r\le n$,$r=|S|$ ,$n$ 为 $V$ 的基的基数
8. 有限维向量空间的所有基的基数相同，因此把基的基数称为向量空间的维数，记作$\dim (V)$
9. 子空间的交仍然是子空间
10. 由集合 $S$ 里的有限个元素的线性组合得到的集合是 V 的一个子空间
11. 在同一个域 $F$ 上的向量空间的直和仍是 $F$ 上的向量空间
12. 对于任意一个域$F$,$F^n$是$F$上的向量空间，且$\dim (F^n)=n$
13. $B$ 是有限维向量空间的基 $⟺$ $V$ 中的任意向量都可以被 $B$ 中的元素唯一线性表出
14. 任意有限维向量空间$<F,V>$ (在群意义上)都同构于 $<F,F^n>$
15. 线性映射 $L:V\to V^{\prime }$ 的核是 $V$ 的子空间，像$L(V)$是$V^{\prime }$的子空间。若$V$是有限维的，则$\dim (V)=\dim (\text{Ker}(L))+\dim (\text{Im}(L))$,其中$\text{Im}(L)=L(V)$
16. 线性映射的线性组合仍然是线性映射
17. 一个线性变换的不同特征值的特征向量是线性无关的
18. 若$V$是有限维的，则一个线性变换$\varphi :V\to V$最多有$n=\dim (V)$个不同的特征值
19. 向量空间$V$上的所有可逆的线性变换在复合映射下构成一个群，被称作 一般线性群（General linear group），记作$GL(V)$

3. 度量空间

在集合$X$上定义一个函数$d:X\times X\to R+$,满足以下条件，则称$d$为$X$上的度量，$(X,d)$为度量空间。

• 正定性：$d(x,y)\ge 0$, and $d(x,y)=0⟺x=y$
• 对称性：$d(x,y)=d(y,x)$
• 三角不等式：$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$

4. 赋范线性空间

设 $(F,|\cdot |)$ 是一个带绝对值的域，$V$ 是 $F$ 上的向量空间。若映射

$$\Vert \cdot \Vert :V\to [0,+\infty )$$

满足对任意 $v,w\in V$ 与 $a\in F$：

• 正定性：$\Vert v\Vert =0⟺v=0$；
• 绝对齐次性：$\Vert av\Vert =|a|\Vert v\Vert$；
• 三角不等式：$\Vert v+w\Vert \le \Vert v\Vert +\Vert w\Vert$；

则称 $\Vert \cdot \Vert$ 为 $V$ 上的范数，称 $(V,\Vert \cdot \Vert )$ 为赋范线性空间。

通常的数学分析中主要取 $F=\mathbb{R}$ 或 $F=\mathbb{C}$，此时 $|\cdot |$ 分别是通常绝对值或复数的模。

如果 $V$ 上由范数诱导的度量是完备的，则称 $V$ 是 Banach 空间。

4.1. 赋范线性空间的性质

1. 范数可以诱导度量 $d(v,w)=\Vert v-w\Vert$
2. 赋范线性空间都是度量空间

5. 内积空间

$F$ 为$\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$，$V$是 $F$ 上的向量空间，$⟨.,.⟩:V\times V\to F$，满足以下条件，则称$⟨.,.⟩$为$V$上的内积，$(V,⟨.,.⟩)$为内积空间。

• 共轭对称：$⟨v,w⟩=\overline{⟨w,v⟩}$
• 正定性：$⟨v,v⟩\ge 0$ and $⟨v,v⟩=0⟺v=0$
• 线性性：$⟨av+bw,z⟩=a⟨v,z⟩+b⟨w,z⟩$

内积空间空间$V$的子空间$U$的正交补$U^{\perp }=\{v\in V|\forall u\in U,⟨v,u⟩=0\}$是$V$的子空间

正交投影：$V$是内积空间，$U$是$V$的子空间，$v\in V$，若$v=u+w$，其中$u\in U$，$w\in U^{\perp }$，则称$u$为$v$在$U$上的正交投影。

• 若线性变换$T$可逆，且满足$⟨T(v_1),T(v_2)⟩=⟨v_1,v_2⟩,\forall v_1,v_2\in V$, 则称$T$为酉变换（unitary transformation）
• 所有的酉变换在复合运算下构成一个群，被称为酉群（unitary group），记作$U(V)$
• $SU:=\{T\in U(V)|\det T=1\}$是$U(V)$ 的子群，被称为特殊酉群 (Special Unitary Group)。

5.1. 内积空间的性质

1. 正交投影若存在则唯一
2. 内积可以诱导范数$||v||=\sqrt{⟨v,v⟩}$
3. 内积空间可以诱导赋范线性空间
4. 内积空间可以诱导度量空间
5. 有限维内积空间可以通过施密特正交化得到正交基。
6. 内积空间中，柯西-施瓦茨不等式：$|⟨v,w⟩|\le ||v||\cdot ||w||$, 可通过正交分解来证明。
7. 正交 $\Rightarrow$ 线性无关

在内积空间上，内积$\stackrel{induce}{\to }$范数$\stackrel{induce}{\to }$度量

5.2. Riesz 表示定理 (有限维情形)

设 $V$ 是域 $F$（$\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）上的有限维内积空间。对于 $V$ 上的任何线性泛函 $L:V\to F$，存在唯一的向量 $v\in V$，使得对于所有的 $h\in V$，都有：
$L(h)=⟨h,v⟩$

5.2.2. 证明

存在性：
设 $\dim (V)=n$，根据性质，通过施密特正交化可得 $V$ 的一组标准正交基 $(e_1,e_2,\dots ,e_n)$，满足 $⟨e_i,e_j⟩={\delta }_{ij}$。
对于任何向量 $h\in V$，它可以表示为：
$h={\sum }_{j=1}^n⟨h,e_j⟩e_j$
由于 $L$ 是线性映射，由其线性性质可得：
$L(h)=L\left({\sum }_{j=1}^n⟨h,e_j⟩e_j\right)={\sum }_{j=1}^n⟨h,e_j⟩L(e_j)$
为了构造 $v$，利用内积的共轭线性性质 $⟨h,\sum a_j{e}_j⟩=\sum \overline{a_j}⟨h,e_j⟩$，我们令：
$v:={\sum }_{j=1}^n\overline{L(e_j)}{e}_j$
验证：
$⟨h,v⟩=⟨h,{\sum }_{j=1}^n\overline{L(e_j)}{e}_j⟩={\sum }_{j=1}^n\overline{\overline{L(e_j)}}⟨h,e_j⟩={\sum }_{j=1}^{n}L(e_j)⟨h,e_j⟩=L(h)$
存在性得证。

唯一性：
假设存在 $v_1,v_2\in V$ 满足对于所有 $h\in V$：
$L(h)=⟨h,v_1⟩=⟨h,v_2⟩$
由此推导：
$⟨h,v_1-v_2⟩=0,\forall h\in V$
取特定的向量 $h=v_1-v_2$，根据内积的正定性：
$⟨v_1-v_2,v_1-v_2⟩=\Vert v_1-v_2{\Vert }^2=0⟺v_1-v_2=0$
即 $v_1=v_2$。唯一性得证。

6. Hilbert 空间

完备内积空间为 Hilbert 空间。

6.1. Hilbert 空间的性质

1. Hilbert 的投影存在。